Окончание. Начало: Очерк о математических методах анализа расчетных систем

Таблицы расчетных операций могут быть представлены взаимосвязанными между собой математическими объектами, организованными в виде таблиц чисел, которые называются матрицами. Аппарат матричной алгебры позволяет выразить расчетные межбанковские операции в виде единообразно понимаемых формул. Результаты математических операций матричной алгебры при необходимости могут затем быть представлены в традиционном табличном виде.

Табличным структурам в математике естественным образом соответствуют математические структуры, называемые матрицами, которые по определению не что иное, как прямоугольные таблицы чисел или объектов другой природы. Но над матрицами, в отличие от обычных таблиц, определены известные математические операции: умножение на скаляр, сложение, вычитание, транспонирование, умножение и обращение матриц. В матричной алгебре, как и в обычной алгебре, связи между величинами устанавливаются формулами, но входящие в них величины принимают значения не на отдельных числах, а на таблицах чисел заданной структуры и размеров.

Следует отметить, что матричное представление расчетов не является новым направлением в пояснении процедур осуществления расчетных операций. В зарубежных изданиях часто приводится матрица клиринговых расчетных операций, автором которой считается г-н Beziade. Она называется теоретической схемой клиринга. Обычно она демонстрируется в виде табличного представления расчетных операций банков.  Подобным образом используются матричные модели (таблицы расчетов) и Девидом Шеппардом в работе «Платежные системы». К сожалению, указанные авторы не рассматривают матрицы как инструмент для решения уравнений с целью поиска неизвестных значений.

Использование математических объектов и методов позволяет совершенно по-новому решать проблемы моделирования межбанковских расчетных операций и их анализа как решения математических уравнений, но связывающие между собой не отдельные числа, а различные структуры чисел, организованные в виде аналогов табличных структур: матриц, векторов (отдельных строк и столбцов) и отдельных числовых величин — скаляров.

Система матричных тождеств[1] расчетных операций банков позволяет построить соответствующую систему информационно-технологических образов схем расчетов. Каждой форме расчетных операций ставится в соответствие ее матричный образ[2], каждой процедуре расчета также ставится в соответствие эквивалент этой процедуры в системе операций векторно-матричной алгебры. Система средств и методов матричного представления расчетов позволяет свести процедуры расчета кредитных организаций к весьма компактным и понятным информационно-технологическим образам, определенным в системе понятий и операций матричной алгебры.

Математически обоснованная система информационно-технологических образов, в рамках которых данные расчетных операций банков явным образом связаны с результатами проведения расчетов и клиринга, излагаются ниже.

Для изложения методологии и методики построения матричных моделей расчетов определим такие понятия, как матрица–корреспонденция и матрица–проводка.

Квадратная матрица размером m x m, у которой на пересечении строки, соответствующей банку X, и столбца, соответствующему банку Y, находится единица, а все остальные элементы равны нулю, называется  матрицей-корреспонденцией.

Саму матрицу-корреспонденцию будем обозначать E(X,Y), а ее ненулевой элемент, всегда равный единице, через E(X,Y)=1. В соответствии с определением, все остальные элементы E(I,J)=0 для всех I¹X и J¹Y.

Матрица-проводка — это произведение суммы расчетной операции на матрицу- корреспонденцию.

 

R (X, Y) = S X,Y · E(X,Y)                 (1)

 

Например, для суммы расчетной операции SA,B = 80 д.е. и корреспонденции между банками Е(A, B) — « Денежные средства переводятся из банка A в банк B», получаем следующую матрицу-проводку:

 

 

При умножении скаляра λ на матрицу все числа, содержащиеся в ней, увеличиваются в λ раз. Все элементы матрицы расчетных операций, кроме  Е(A, B) =1, равны нулю. Поэтому скалярная величина — сумма проводки SA,B = 80 — устанавливается в соответствующей позиции матрицы на пересечении строки А и столбца В, т.е. R(A, B) = 80, в то время как все остальные элементы матрицы–проводки будут нулевыми.

 

В качестве моделеобразующей принята матрица расчетных операций банков, в которой последовательно записываются суммы проводок между банками.

В целях иллюстрации матричного моделирования расчетных систем используем числовой пример в виде расчетных операций банков. Для отражения представленных в нем операций использованы расчеты между 5 кредитными организациями. Эти расчеты в символическом виде могут быть записаны как:

 

R= 80×E(А,B) + 100×E(А,C) + 90×E(А,D) + 10×E(А,Е) + 70×E(B,A) + 50×E(B,C) + 40×E(B,D) + 100×E(B,Е) + 30×E(C,A) + 40×E(C,B) + 80×E(C,D) + 20×E(C,E) + 100×E(D,A) + 110×E(D,B) + 70×E(D,C) + 130×E(D,E) + 190×E(E,A) + 10×E(E,B) + 170×E(E,C) + 30×E(E,D) + 90×E(A,B) + 70×E(D,C) + 80×E(B,D).

 

Или:

 

R= (R1(A,B)=80)+ (R2(A,С)=100)+ (R3(A,D)=90)+ (R4(A,E)=10)+ (R5(B,A)=70)+ (R6(B,С)=50)+ (R7(B,D)=40)+ (R8(B,E)=100)+ (R9(C,A)=30)+ (R10(C,B)=40)+ (R11(C,D)=80)+ (R12(C,E)=20)+ (R13(D,A)=100)+ (R14(D,B)=110)+ (R15(D,C)=70)+ (R16(D,E)=130)+ (R17(E,A)=190)+ (R18(E,B)=10)+ (R19(E,C)=170)+ (R20(E,D)=30)+ (R21(A,B)=90)+ (R22(D,C)=70)+ (R23(B,D)=80).

 

Здесь подстрочный индекс 1,2,3… обозначает номер расчетной операции. Сами операции записаны с помощью символического языка, где каждый расчет записывается как формула:  R(X, Y) = SX,Y . В ней слева показана межбанковская корреспонденция, а справа сумма расчетной операции, определенная на корреспонденции банков X,Y, где X,Y принадлежат множеству банков, участвующих в расчетах. Таким образом, расчетная операция (матрица-проводка) определена как соответствующий элемент матрицы расчетов. Такая  форма записи,  по моему мнению, очень удобна, потому что позволяет записывать в   правой части выражения не только суммы расчетных операций, но и формулы получения этих сумм. Например: если представить, что  проводка R23(B, D) должна быть осуществлена на сумму установленного лимита средств, и обозначить этот лимитlm”, то можно записать проводку R23(B, D)= lm, при этом лимит может рассчитываться по любой установленной формуле. Таким же образом можно записывать формулы получения сумм проводок, выражая их через проводки по другим связанным расчетным операциям. При этом матрица расчетных операций является однородной и квадратной, содержит только числовые значения проводок, а ее размерность определяется количеством банков, участвующих в расчетах.

 

Благодаря представлению расчетных операций в форме матриц-проводок алгоритм формирования таблицы расчетов сводится к суммированию матриц-проводок за рассматриваемый период.

 

Таким образом, эквивалентом или информационно–технологическим образом процедуры формирования расчетов между банками будет следующая матричная формула:

                            (2)

 

Поскольку:  Ri (Xi ,Yi) = Si  Ei(Xi ,Yi), где i=1,2,...,n — номер расчетной операции, матрица межбанковских расчетов может быть представлена как линейная комбинация матриц-корреспонденций, умноженных на суммы проводок:

 

               (3),

где коэффициентами линейного разложения являются скалярные величины — суммы проводок Si (i = 1, 2, …, n).

 

Матричная формула (3) — это информационно–технологический образ журнала расчетных операций или системы валовых расчетов в режиме реального времени: в ней суммы операций, определенные на соответствующих корреспонденциях между банками, представлены в хронологическом порядке.

Если просуммировать матрицы-проводки по известным правилам матричной алгебры (привести подобные матрицы-проводки), то получим матрицу сводных расчетных операций банков, которую в символическом виде можно записать в следующем виде:

 

R= 170×E(А,B) + 100×E(А,C) + 90×E(А,D) + 10×E(А,Е) + 70×E(B,A) + 50×E(B,C) + 120×E(B,D) + 100×E(B,Е) + 30×E(C,A) + 40×E(C,B) + 80×E(C,D) + 20×E(C,E) + 100×E(D,A) + 110×E(D,B) + 140×E(D,C) + 130×E(D,E) + 190×E(E,A) + 10×E(E,B) + 170×E(E,C) + 30×E(E,D).

Или:

R= (R1(A,B)=170)+ (R2(A,С)=100) + (R3(A,D)=90) + (R4(A,E)=10) + (R5(B,A)=70)+ (R6(B,С)=50) + (R7(B,D)=120) +(R8(B,E)=100)+ (R9(C,A)=30)+ (R10(C,B)=40)+ (R11(C,D)=80)+ (R12(C,E)=20) + (R13(D, A)=100)+ (R14(D,B)=110)+ (R15(D,C)=140)+ (R16(D,E)=130)+  (R17(E,A)=190)+ (R18(E,B)=10)+ (R19(E,C)=170) + (R20(E,D)=30).

 

Матрица расчетных операций банков после приведения подобных матриц-проводок представлена ниже:

 

 

После суммирования однотипных проводок получаем формулу сводных обязательств по расчетам между банками:

            (4),

 

где коэффициентами линейного разложения будут суммы операций сводных проводок:  SX,Y   (X,Y  принадлежит множеству банков, участвующих в расчетах).

Матричная формула (4) — это информационно–технологический образ расчетов за определенный период обработки или системы валовых расчетов с периодической обработкой платежей: в ней суммы операций — это итоговые суммы, определенные на однотипных корреспонденциях банков. Формула (3) непосредственно преобразуется в формулу (4) с помощью элементарных операций обычной и матричной алгебры.

 

Пусть R — это матрица обязательств по расчетам между банками, а R¢ = (R)¢  –транспонированная к ней матрица получаемых межбанковских платежей или матрица исполнения обязательств, т. е. матрица, в которой строки и столбцы переставлены — инвертированы по отношению к исходной матрице R.

Тогда сальдовая матрица DR будет определена как разность:

RR¢ = DR                           (5).

Матричная формула (5) — это информационно–технологический образ  двухстороннего неттинга.

По данным нашего примера имеем:

 

 

 

 

Сальдовая матрица DR обладает свойствами, в которых проявляется двойственная природа межбанковских отношений:

1. Элементы сальдовой матрицы DR зеркально симметричны относительно главной диагонали. Это свойство состоит в том, что для каждого элемента DR(X,Y) — сальдо межбанковских расчетов банков X и Y — всегда существует равный по модулю, но противоположный по знаку элемент с инвертированной корреспонденцией DR(Y,X) такой, что всегда соблюдается равенство: DR(X,Y) = – DR(Y,X), где X,Y — любые два корреспондирующих банка, и наоборот: DR(Y,X) = – R(X,Y). По сути это свойство сальдовой матрицы DR показывает схему двухстороннего неттинга между банками, участвующими в расчетах.

2. Поскольку сумма каждой пары зеркально симметричных элементов равна нулю, то и сумма всех элементов сальдовой матрицы также равна нулю: å DR(X,Y)=0, где X,Y Î множеству банков, участвующих в расчетах. Это является подтверждением того, что все взаимные обязательства банков урегулированы.

Свертывание матриц обязательств и платежей банков в итоговый столбец достигается умножением справа на единичный вектор e. Преобразование  r = R×e сворачивает R в итоговый столбец rоб (вектор обязательств), а преобразование r¢ = R¢×e в итоговый столбец rпл (вектор платежей).

 

rоб  = R×e              (6)

rоб  =

 

 

rпл = R¢×e             (7)

 

rпл =   

 

Векторное уравнение многостороннего неттинга может быть выражено следующей формулой:

Drмн  = DR×e                   (8)

 

Drмн =

 

Векторная формула (8) — это информационно–технологический образ  многостороннего неттинга. Эта формула явно следует из тождеств (5), (6) и (7).

Содержательный результат формульного представления моделей расчетов, по нашему мнению, заключается в том, что удалось перейти от обычного процедурного описания технологии межбанковских расчетов к ее представлению в форме компактных и единообразных матричных тождеств. Основные схемы расчетов представлены как система следующих друг из друга компактных векторно-матричных формул, которые должны быть единообразно понимаемы всеми участниками расчетных взаимоотношений, хотя и требуют некоторой образовательной подготовки.

На базе разработанной системы матричных тождеств могут быть определены: структура рисков, возникающих в платежных системах (формульное выражение) и конкретные величины этих рисков (количественное определение). Представленные формулы позволяют проводить содержательный анализ систем денежных переводов с целью оптимизации расчетных операций и минимизации рисков, возникающих в конкретных платежных системах. Под содержательным анализом в данном контексте подразумевается использование методов математического моделирования банковских процедур для оценки эффективности платежных систем.  Этот анализ может рассматриваться как дополнение к другим методам исследования систем денежных переводов. Оптимизация расчетных операций посредством решения системы матричных уравнений предоставляет возможность поиска такой структуры расчетных взаимоотношений, которая бы отвечала поставленной цели. Кроме этого, приведенная система матричных моделей обеспечивает единство методологических подходов с системой информационно-технологических образов операций бухгалтерского учета  в системе ситуационно-матричной бухгалтерии, что является очень важным, так как расчетные операции и система учета этих операций в балансах организаций, по нашему мнению, взаимосвязаны.

В последнее время в отчественных публикациях очень много внимания уделяется опыту функционирования платежных систем в экономически развитых странах. Это увлечение зарубежными разработками понятно, поскольку при построении платежных систем хочется использовать передовую практику. Однако мне представляется, что простое подражание — не лучший способ интеграции в мировое экономическое сообщество. Кроме этого, следует помнить, что при копировании зарубежного опыта функционирования платежных систем отечественные системы неизбежно будут отставать от западных, так как функционирующие в настоящее время системы — результат научно-технических решений прошлых лет. Поэтому для разработки новых систем перевода средств, расчетов и платежей необходимо не только использовать передовую зарубежную практику, но и учитывать направления будущего развития. В связи с этим, математическое моделирование расчетных систем может дать конкурентные преимущества при конструировании новейших платежных систем, разрабатываемых в России.

 

Литература

1. Доклад Рабочей группы по принципам и практическим аспектам платежных систем Комитета по платежным и расчетным системам Банка международных расчетов (БМР) «Ключевые принципы для системно значимых платежных систем» //Вестник Банка России. – 2002. – № 18-19.

2. Банк России и Комитет по платежным и расчетным системам центральных банков стран Группы десяти «Платежные системы России» //Вестник Банка России. – 2003. – № 64.

3. Доклад Комитета по схемам межбанковского неттинга: «Report on netting schemes», БМР, февраль 1989 г. //размещен на web-сайте БМР (http://www.bis.org/cpss/cpsspubl.htm).

4. Доклад Комитета по платежным и расчетным системам Банка международных расчетов: «Real-time gross settlement systems», БМР, март 1997 г. //размещен на web-сайте БМР (http://www.bis.org/cpss/cpsspubl.htm).

5. Доклад Комитета по платежным и расчетным системам Банка международных расчетов: «Clearing and settlement arrangements for retail payments in selected countries», БМР, сентябрь 2000 г. //размещен на web-сайте БМР (http://www.bis.org/cpss/cpsspubl.htm).

6. Справочный документ стандартных терминов, содержащий глоссарий терминологии платежных систем Комитета по платежным и расчетным системам Банка международных расчетов: «A glossary of terms used in payments and settlement systems», БМР, март 2003 г. //размещен на web-сайте БМР (http://www.bis.org/cpss/cpsspubl.htm).

7. Консультативный доклад Комитета по платежным и расчетным системам Банка международных расчетов: «General guidance for payment system developmen», БМР, май 2005 г. //размещен на web-сайте БМР (http://www.bis.org/cpss/cpsspubl.htm).

8. David Sheppard. Payment Systems. Handbooks in Central Banking. — Issued by the Centre for Central Banking Studies, Bank of England, May 1996.

(http://www.bankofengland.co.uk/education/ccbs/handbooks/ccbshb08.htm)

9. Кольвах О.И. Компьютерная бухгалтерия для всех. — Ростов-на-Дону: Изда­тельство «Феникс», 1996.

10. Кольвах О. И., Копытин В. Ю. Адаптивные модели бухгалтерского учета и формирования финансовой отчетности в системе кредитных организаций (концепция, методы и информационно-технологическое обеспечение) — Ростов-на-Дону: Издательство «Терра», 2002 (http://gaap.ru/biblio/gaap-ias/msfo/book.pdf).

11. Р. М. Канафина, Н. А. Медяк и др. Отдельные направления развития платежных систем и расчетов // Журнал «Деньги и кредит». – 2003. – № 2.

12. Копытин В.Ю. Моделирование расчетных операций в платежных системах // Журнал «Аудит и финансовый анализ». – 2005. – № 1.

13. М. В. Чигридов. Системы валовых расчетов в режиме реального времени (мировой опыт и Россия) // Журнал «Деньги и кредит». – 2005. – № 11.

 

 



[1] Здесь следует напомнить, чем «тождество» отличается от «математического уравнения».  Тождество — это отношение между объектами,  формула, которая справедлива для любых допустимых значений. Математическое уравнение — это запись задачи о нахождении значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны.

[2] Под термином  «образ»  понимается  форма отражения  предметов и явлений материального мира в сознании человека. Материальной формой воплощения образа являются различные знаковые модели, которые служат условными обозначениями для записи понятий, предложений и выкладок.