При взгляде на графики довольно хаотичного движения цен на ум невольно приходят мысли о случайном блуждании, которое достаточно подробно изучено в теории вероятностей и математической статистике. Какие же задачи рассматриваются при изучении случайного блуждания? Какие результаты достигнуты в связи с их решением? Насколько применимы эти результаты на практике? Чтобы ответить на эти вопросы, следует в первую очередь обратиться к той модели случайного блуждания, которую мы будем рассматривать, и ее модификациям.
Идея случайного блуждания восходит к такому явлению, как броуновское движение и диффузия материальной частицы, которая совершает случайные перемещения под воздействием большого числа столкновений с молекулами. Мы же будем рассматривать не движение материальной частицы, а изменение цены некоторого актива, например, акции, в результате совершения сделок, которые совершаются участниками рынка под влиянием тех или иных – нередко прямо противоположных – целей и устремлений, несмотря на то, что мотив у всех один: получение прибыли. Хотя физический смысл имеет непрерывное колебание цены, мы будем рассматривать дискретную схему случайного блуждания, в надежде получить результаты, которые будут справедливы и для предельного случая непрерывного изменения.
Будем считать, что цена изменяется в некоторые дискретные моменты времени по целым точкам числовой прямой (оси цен), расположенной вертикально. Представим, что в начальный момент времени х = 0 цена находится в начале отсчета, которому соответствует цена открытия. Хотя реальная цена открытия больше нуля, мы для простоты будем полагать ее равной нулю, несмотря на то, что в результате такого предположения у нас появятся отрицательные значения, если цены упадут ниже цены открытия. Вернуться от наших условных или виртуальных цен к реальным ценам можно очень просто, добавив к виртуальной цене значение цены открытия.
В каждый следующий момент времени х = 1, 2, 3, … цена смещается на единицу вверх или на единицу вниз. Например, в момент времени х = 1 цена будет равна +1 или -1; если в момент времени х цена равнялась величине y, то в момент времени х + 1 она будет иметь значение y + 1 или y – 1, независимо от того, как осуществлялось ее движение до момента х.
Здесь следует сказать несколько слов о времени и о единице цены. Хотя мы будем говорить о моменте времени х, на самом деле это не равномерно текущее время, к которому мы все привыкли, а число шагов; таким образом, цена изменяется на единицу вверх или на единицу вниз не за секунду или минуту, а за один шаг.
Что же касается единицы цены, то ее величина также не равна 1 рублю или доллару США, а, скорее, некоторой условной величине, значение которой может быть разным для разных торговцев. Чтобы пояснить эту мысль, представим, что торговец купил акцию по цене открытия равной нулю и затем продал ее на следующем шаге по цене +1, тем самым он заработал одну единицу валовой прибыли. При этом торговец должен будет заплатить комиссионные за открытие позиции, комиссию за закрытие позиции, покрыть иные издержки, связанные с торговлей, заложить определенную доходность, которая должна превышать доходность по безрисковым активам (проценты по депозитам в надежных банках или доходы по государственным облигациям), а также отработать убытки, полученные во время предыдущей торговли. Понятно, что комиссионные и другие издержки торговли зависят не только от брокера, но и выбранного тарифного плана; требования к доходности также у всех разные, также и просадки, которые были допущены во время предыдущей торговли, что определяется консервативностью конкретного торговца. Все эти факторы влияют на «вес» единицы. Если этот «вес» окажется слишком мал, то, хотя торговец и получит валовую прибыль, но ее «съедят» комиссионные, которые зависят от оборота, и торговец все равно окажется в убытке или же получит прибыль, которая окажется ниже дохода по банковскому депозиту. Вот почему значение единицы индивидуально для каждого отдельного торговца: изменения цены, которые меньше индивидуального единичного значения, торговец в упор не видит, поскольку они или принесут убыток, или не дадут желаемого дохода.
Для начала – впоследствии это допущение мы ослабим – будем считать, что изменение цены на одну единицу вверх или вниз равновозможно, то есть происходит с вероятностью ½ каждое. В этом случае можно считать, что цена совершает одномерное симметричное случайное блуждание вдоль вертикальной оси цен; однако будет удобнее развернуть график случайного изменения (блуждания) цены на пространственно-временных осях: по оси абсцисс будем откладывать временные шаги, а ось ординат будет отражать значения цен. Отметим точки, соответствующие значению цены на каждом временном шаге и соединим ближайшие точки прямолинейными отрезками. Тогда любой возможный исход последовательных изменений цены будет графически изображаться ломаной линией с вершинами в точках абсцисс 1, 2, 3,… и целочисленными ординатами. Полученный график будет отражать траекторию изменения цены.
Рис. 1. Траектория изменения цены
При фиксированном времени наблюдения х в качестве возможных исходов ценового развития целесообразно выбрать множество всех траекторий длины х, начинающихся в начале координат. Поскольку общее их число равно 2х и все они равновозможны, то каждой траектории приписывается вероятность 1/2-х =2-х. В условиях симметричного случайного блуждания любое событие, состоящее в достижении ценой некоторого значения, имеет вероятность, пропорциональную числу траекторий, заканчивающихся в точке, отражающей это значение. Поэтому при подсчете вероятности достижения ценой того или иного значения можно использовать комбинаторные формулы.
Основные задачи, которые характерны для случайного блуждания, применительно к нашему случаю изучения ценовых движений можно сформулировать следующим образом:
1) когда цена первый раз достигнет некоторого уровня;
2) когда цена вернется в начало координат;
3) каково время пребывания цены на положительной части прямой и т. п.
Удивительно то, что модель симметричного одномерного случайного блуждания демонстрирует совершенно неожиданные, порой противоречащие здравому смыслу свойства случайных блужданий. Однако чтобы осмысленно подойти к этим результатам, нам придется вспомнить отдельные положения и формулы комбинаторики.
Некоторые элементы комбинаторики
Траектория ценового движения графически представляется ломаной линией с вершинами в точках с целочисленными координатами, причем координатами своих вершин каждая траектория определяется однозначно. Такие траектории можно считать путями из начала координат и важно научиться подсчитывать количество путей, обладающих определенными свойствами (см. рис.2). Например, путь называется положительным, если его вершины лежат строго выше оси абсцисс, и неотрицательным, если его вершины не опускаются ниже оси абсцисс. Аналогично можно определить отрицательный и неположительный пути.
Пусть L(x, у) число всех путей, ведущих из начала координат в точку (x, у). Тогда
L(x, у) = 
, (1)
где 
- так называемый биноминальный коэффициент.
Значение биноминального коэффициента вида 
рассчитывается по формуле 
= 
, где m ≥ n ≥ 0.
