Понятие «динамическое репродуцирование»

Излишне говорить, какую роль играют опционы в современной финансовой системе и, в частности, в операциях банков. Они применяются для улучшения доходности, создания нелинейного профиля прибыли, получения бесплатного плеча, хеджирования, ограничения рисков: например, в отличие от традиционного стоп-лосса (stop-loss), который может «вышибить» трейдера с рынка в результате отдельных колебаний цены базового актива, опцион позволяет трейдеру оставаться в рынке, предотвращая в то же время катастрофические потери.

Потому-то использованию опционных стратегий посвящена обширная литература. В ней отдельное место занимают вопросы, связанные c построением синтетических опционов. При этом, когда говорят о синтетических опционах, часто имеют в виду возможность выразить опционную позицию, состоящую из опциона call через позицию, включающую опцион put и базовый актив, и наоборот – позиция из опциона put может быть представлена позицией из опциона call и позицией из базового актива (например, акции). Записывается это обычно следующим образом:

1) long put = long call + short stock

2) long call = long put + long stock

3) short put = short call + long stock

4) short call = short put + short stock

Однако на практике случаются ситуации, когда нет зарегистрированных call или put опционов на интересующий нас актив, или рынок опционов неликвиден, или, по крайней мере, его ликвидность значительно уступает ликвидности рынка базового актива. И что тогда делать? Можно ли синтезировать опционную позицию каким-либо иным образом?

И теория, и практика отвечают на поставленный вопрос положительно, опираясь при этом на понятие динамического репродуцирования (dynamic replication). [Слово replication имеет различные переводы: копирование, дублирование, репликация и т.д.; его можно также понимать как эмуляция или имитация. Но поскольку с рассматриваемым явлением автор впервые столкнулся в известной книге Кевина Б. Коннолли «Покупка и продажа волатильности», в которой применяется термин “репродуцирование”, то в дальнейшем будет использоваться именно это понятие].

В связи с динамическим репродуцированием опционов можно упомянуть так называемый парадокс Хаканссона (1979), который формулируется следующим образом:

«если опционы могут быть оценены только потому, что они могут быть репродуцированы, то, так как они могут быть репродуцированы, зачем они вообще нужны?»

Финансовая наука различает статическое и динамическое репродуцирование. Синтетические финансовые инструменты, которые конструируются с использованием статического репродуцирования, обладают такой особенностью, что портфель, из них составленный, не требует никакой регулировки до того самого момента, пока срок обращения целевого (репродуцируемого) инструмента не истечет. При этом все время стоимости в текущих ценах синтетического и целевого инструментов двигаются идентичным образом.

Однако статическое репродуцирование не всегда возможно при разработке определенной финансовой схемы, и репродуцируемые портфели могут нуждаться в постоянном регулировании (ребалансировке), чтобы поддержать их эквивалентность с целевым инструментом, для репродуцирования которого они предназначаются. Дело обстоит так по ряду причин.

Прежде всего, методы выполнения статического репродуцирования зависят от существования других активов, которые допускают подобное использование. Чтобы репродуцировать желаемую ценную бумагу, обычно требуется минимальное число соответствующих инструментов. Но если рынки инструментов, которые являются компонентами синтетической ценной бумаги, не существуют, то синтетические продукты не могут быть созданы этим путем.

Во-вторых, сами инструменты могут существовать, но они, возможно, неликвидны. Если компоненты синтетического инструмента не торгуются активно, синтетический инструмент не может на самом деле удовлетворительно репродуцировать целевой актив, даже при том, что чувствительность по отношению к основным факторам риска та же самая. Например, если составные части активов являются неликвидными, цена целевого (репродуцируемого) актива не может быть получена путем "сложения" цен инструментов, которые образуют синтетический финансовый продукт. Эти цены не могут быть оперативно получены с рынков. Репродуцирование может быть выполнено только с использованием активов, которые являются ликвидными и "похожими", хотя и не вполне идентичными целевому инструменту. Такие репродуцируемые портфели могут потребовать периодической регулировки.

В-третьих, актив, который репродуцируется, может быть нелинейным. Опционы как раз и являются такими инструментами: если вспомнить профиль их риска, то он имеет характерный излом при цене страйк. Использование линейных инструментов для репродуцирования нелинейных активов связано с определенными приближениями. По этой причине репродуцируемые портфели должны периодически проходить ребалансировку.

Наконец, параметры, которые играют роль в оценке актива, могут измениться, и это также может потребовать ребалансировки репродуцируемого портфеля.

Технология репродуцирования

Логика динамического репродуцирования заключается в том, что финансовый инструмент, выплата по которому может быть имитирована путем непрерывной торговли портфелем базовых ценных бумаг, является избыточным, ибо его стоимость может быть получена из стоимости базового портфеля, подверженного динамическому репродуцированию, не требуя при этом никакой премии за риск, относимой к будущей стоимости.

В основе динамического репродуцирования опциона лежит его дельта (для определенности мы будем рассматривать опцион put). Дельта опциона представляет собой показатель изменения его цены относительно изменения цены базового актива. Так, если Π - цена опциона и p - цена базового актива, то дельта (Δ) задается формулой

Δ = dΠ/

(Поскольку мы рассматриваем опцион put, то его Δ < 0).

В свое время (1973) Фишер Блэк и Майрон Шоулз (иногда Scholes переводят как Скоулз) в их знаменитой статье о ценообразовании опционов заметили, что портфель, состоящий из:

Δ базового актива и

−1 опциона put

является в определенном положении безрисковым относительно изменений p. Это так потому что, когда цена изменяется несущественно, прибыль или потеря от удержания основного актива (в пропорции, определяемой Δ) подобрана таким образом, чтобы точно возмещать потери или прибыль от изменений в цене опциона put (−Δ). Это понимание используется в качестве первоисточника формулы Блэка-Шоулза.

Аналогичный аргумент может использоваться для того, чтобы показать, что выплата по опциону put может репродуцироваться путем удержания подходящего портфеля из базового актива и наличных денег. Покажем это.

Предположим, что трейдер начинает операции, имея наличность в размере Π. И надо так случиться, что точно такова цена опциона put, который трейдер желает эмулировать (репродуцировать).

Располагая своим «богатством», трейдер может или купить сам опцион put, или «сконструировать» портфель, в котором будет:

Δ базового актива и

(−pΔ + Π) наличных денег                                          (1)

(Напомним, что, так как трейдер желает репродуцировать опцион put, Δ отрицательна).

Этот портфель финансируется путем короткой продажи |Δ| единиц основного актива по цене p и добавлением вырученной суммы к остатку денежных средств.

Теперь, допустим, что цена базового актива изменилась до p′. Стоимость портфеля при новой цене равняется:

Δp′     +    (Π − pΔ) =   Π + Δ (p′ − p) ≈ Π′
короткая позиция
по базовому активу
  наличные  


где Π′ - цена опциона put при цене базового актива равной p′. Итак, трейдер старается приблизиться к позиции того участника, который с самого начала удерживал опцион put. Так как приближение линейно, точность приближения тем больше, чем меньше изменение цен.

Трейдер, осуществляющий динамическое репродуцирование, формирует тогда новый портфель:

Δ′ базового актива и

−p′Δ′ + Π′ наличных денег                                             (2)

который возможно «сконструировать», располагая его средствами Π′.

Продолжая подобным образом, трейдер достигает срока истечения репродуцируемого опциона.

Конечная стоимость портфеля равняется

max {x − p, 0},

в зависимости от того, истекает ли репродуцируемый опцион «в деньгах» или «без денег», что эквивалентно платежу, связанному с покупкой и удержанием одного put опциона с самого начала.

Как известно, активно торгуемые опционы существуют только на упрочившихся рынках и только для относительно коротких сроков. Для долгосрочных опционов или для специфических активов, динамическое репродуцирование является единственным средством, доступным для трейдеров, если они желают хеджировать позицию неявно выраженным опционом.

Репродуцировать можно не только put, но call опционы. Репродуцирование длинного опциона call начинают с установления длинной позиции, например, на акцию. Если цена поднимается, то следует купить еще акций, а если цена падает, то часть акций необходимо продать. В конце намеченного периода прибыль и убытки портфеля с акциями будут равны прибыли и убыткам, которые трейдер имел бы, если бы просто купил опцион call. Стоимость искусственного опциона call не будет известна до конца периода (момента истечения). Если волатильность акции (базового актива) была достаточно низкой, тогда и стоимость опциона будет низкой. Если волатильность была высокой, стоимость окажется тоже высокой.

Динамическая стратегия хеджирования, набросок которой был дан выше, имеет то свойство, что диктует продажу базового актива, когда его цена падает, и покупку базового актива, когда его цена повышается. Это так потому что дельта опциона put становится все более отрицательной по мере того как цена базового актива падает; для длинного опциона call дельта растет по мере роста цены базового актива. Другими словами, динамическое репродуцирование указанных опционов базируется на стратегии "продавай дешево, покупай дорого”, тогда как любого новичка на финансовом рынке обычно наставляют: «покупай дешево, продавай дорого и тогда будешь в шоколаде».

Такова в общих чертах теория динамического репродуцирования опционов. А теперь обратимся к практике и рассмотрим «оборотную сторону медали».

Уязвимые места динамического репродуцирования

Автор неспроста начал с рассмотрения процесса динамического репродуцирования опциона put – синтез именно этих опционов получил наибольшую популярность в 80-х годах прошлого века в целях так называемого страхования портфеля (portfolio insurance). Дело в том, что биржевой рынок предлагал к торговле только ограниченное количество опционов на незначительное количество акций, тогда как индустрия страхования портфелей активно развивалась и требовала предложения опционов put с любой предпочтительной датой истечения срока на любой портфель акций.

Необходимо также отметить, что одним из действительно важных факторов страхования портфелей был фактор стоимости. На очень спокойных рынках стоимость динамического репродуцирования была очень низкой. Самыми уникальными были ситуации, когда цена акции оставалась абсолютно неизменной на протяжении всего периода. Хотя выше мы ничего не говорили о процентных ставках, молчаливо считая их равными нулю, тем не менее, на практике они всегда больше нуля. При реальной процентной ставке короткая позиция на акцию начинает приносить процентные доходы. Поэтому можно представить себе ситуацию, в которой искусственный опцион put на акцию по сути дела имеет отрицательную стоимость, что, несомненно, очень привлекательно. Если цена актива находится в стагнации на протяжении жизни искусственного опциона, тогда не будет никакой торговли в целях ребалансировки, а это обусловливает отсутствие торговых убытков. Отсутствие торговых убытков подразумевает, что опцион put, в конце концов, ничего не будет стоить. Если короткая позиция на акцию приносит доход от процентов, тогда опцион put фактически вносит свою долю в чистую прибыль, а не создает издержки.

Но диалектика не зря утверждает, что все на свете имеет свои отрицательные стороны. Согласно отчету комиссии Брэди (Brady, N. (1988) Report of the Presidential Task Force on Market Mechanisms, Government Printing Office, Washington D. C.) именно динамическое репродуцирование опционов внесло свою лепту в крах американского фондового рынка в 1987 году. Названный кризис обнажил определенные изъяны концепции страхования портфеля. Динамически синтезированные опционы put требовали продажи все большего количества акций (или фьючерсов на фондовый индекс) по мере падения цены. Во время краха рынок так стремительно падал, что все больше и больше искусственных опционов put  инициировали все больше и больше ордеров на продажу, вынуждая рынок падать еще ниже. Возникла проблема с исполнением ордеров. Цены двигались настолько быстро, что, в конце концов, торговать стало невозможно.

Согласно названному отчету на спокойном рынке многие страховали свои портфели только один раз в день – при открытии, основываясь на цене закрытия предыдущего дня; и только отдельные трейдеры проводили  ребалансировку несколько раз в день. Редкая торговля гарантировала, что операционные затраты будут низки, правда это достигалось за счет точности приближения, особенно если цена двигалась в одном направлении только в течение нескольких дней.

Когда операции трейдера незначительны относительно рынка в целом, или когда активные торговцы на рынке держат несходные позиции, можно было бы ожидать незначительной или вообще никакой обратной связи от их решений на динамику рынка. Однако когда подобное состояние нарушается, динамика рынка может быть подвергнута стрессу и привести к дестабилизации ценовых траекторий.

В период, предшествующий крушению 19 октября 1987 года, фондовый рынок испытал сильное падение. Со среды 14 октября до пятницы 16 октября, рынок снизился приблизительно на 10 %. При этом продажи, продиктованные моделями динамического хеджирования, составляли приблизительно $12 миллиардов (или в наличных деньгах или фьючерсах), тогда как обычные продажи составили только приблизительно $4 миллиарда. Это означало, что ко времени открытия в понедельник утром, было существенное давление скрытых предложений на продажу. Нарушение равновесия между покупками и продажами означало, что большая часть базового рынка акций не функционировала. Вследствие этого трейдеры пытались использовать рынок индексных фьючерсов, чтобы застраховать свою незащищенность, а это, в свою очередь, привело к тому, что фьючерсы на индекс S&P продавались с большими скидками в понедельник 19 и во вторник 20 октября.

Уроки истории

Приведенный выше пример важен для понимания ряда моментов.

Во-первых, подобные автоматические торговые системы страхования портфелей, если они применяются в больших масштабах, имеют дестабилизирующий потенциал. Продажа при понижении цен может только усилить понижательное движение. Те, кто страховал свои портфели, в действительности репродуцировали put опционы, вслепую продавая, когда рынок  уже падал, создавая дополнительное (к срабатывающим стопам) давление вниз. Важный урок, который вытекает из краха фондового рынка 1987 года, заключается в том, что динамическое репродуцирование опционов put путем ребалансировки портфеля, вероятно, недопустимо во времена «нездорового» рынка. Когда большой отряд трейдеров пытается следовать тем же самым торговым стратегиям, ликвидность нарушается до такой степени, что рынок прекращает функционировать способом, который необходим для стратегии динамической торговли. В ситуациях, подобных этой, причину кризиса следует рассматривать, скорее, как эндогенную (внутреннюю), нежели как экзогенную (внешнюю).

В этой связи становятся понятны различные ограничения на короткие продажи, которые уполномоченные властные структуры стали вводить в кризисные периоды, что негативно сказывается на динамическом репродуцировании опционов. Впрочем, определенная «дискриминация» коротких продаж существует и на спокойном рынке – вспомните хотя бы введенное в США условие Uptick, то есть продажа ценной бумаги должна осуществляться по цене, которая превышает цену последней сделки по данной бумаге, или по цене, равной цене последней сделки, но превышающей цену последней сделки по другой цене.

Во-вторых, стратегию продажи актива после того, как его цена стала падать, можно отнести к благоразумным методам управления риском. Как правило, трейдеры должны сократить свои позиции после того, как они потерпели большие убытки. Собственно говоря, политика стоп-лоссов имеет некоторое сходство с рассмотренной выше ситуацией.

В-третьих, динамическое репродуцирование длинной опционной позиции связано с потерей денег, потому что покупка базового актива осуществляется, когда цена идет вверх, – другими словами, слишком поздно. Каждая сделка приводит к потере маленькой суммы денег, которая будет аккумулироваться как бы в опционную премию.

Наконец, успех рассмотренной стратегии динамического репродуцирования критически зависит от предположения о процессе непрерывного геометрического броуновского движения цены. Это делает теоретически возможным повторно балансировать портфель так часто, как необходимо. Однако на практике, динамическое репродуцирование может потерпеть неудачу, если цены совершают решительные скачки. В этой связи есть смысл детальней разобраться с ребалансировкой.

Понятно, что это основной момент в динамическом репродуцировании. От этих операций и зависит конечный результат. Корректировки должны проводиться систематически по заранее определенному алгоритму, в противном же случае возможны непредвиденные убытки. Например, если котировка уйдёт с дельты -70 до дельты -60 и была пропущена корректировка на уровне дельты равной -60, то при неблагоприятном развитии событий базовый актив до самой экспирации репродуцируемого опциона может и не вернуться к указанному значению. На следующий день дельта может быть уже -55 и тогда трейдеру придется выкупать часть базового актива уже по более дорогой цене, характерной для дельты равной -55, тогда как при дельте -60 базовый актив стоил дешевле. В наше время подобную проблему можно решить с помощью торгового робота, который будет жестко следовать заданному алгоритму, тогда как «рукопашная» торговля требует большой дисциплины и определенного нервного напряжения.

Нельзя не отметить, что слишком частые ребалансировки, характерные для периодов очень высокой волатильности, могут приводить к убыткам, которые могут показаться излишними. Если рынок по дельте двигался следующим образом: -70, -65, -70, то, осуществляя процедуру ребалансировки, нам нужно будет сначала продать дешево на рынке с дельтой (-70), потом купить дороже на рынке с дельтой  (-65), а затем вновь продать дешево, что само по себе приведет к фиксации убытка. Если же по какой-то причине корректировка при дельте (-65) не осуществлялась, то ничего смертельного не случилось, поскольку цена вернулась к прежнему значению. Но никто наперед не знает: будет ли рынок двигаться монотонно в одну из сторон или же будет «рыскать»; именно поэтому корректировку следует делать регулярно.

Недостатком периодических корректировок по времени является то обстоятельство, что подобный алгоритм может элементарно «упустить» резкое движение цены, когда рынок за короткий промежуток вырастает или падает на несколько процентов, а это, как мы уже отмечали, может усугубить ошибку приближения. По этой причине более предпочтительным может оказаться алгоритм ребалансировки по шагу дельты, хотя и при его реализации могут возникнуть сложности, вызванные слишком резкими движениями цены и большим проскальзыванием. Но здесь опять-таки на помощь могут прийти торговые роботы, которые более оперативно реагируют на изменение рыночной ситуации.

Процесс динамического репродуцирования опциона при блуждании цены базового актива вверх-вниз приводит к тому, что при корректировках могут фиксироваться небольшие убытки, которые вызваны тем, что продажа происходит дешевле, а покупка дороже. Такие убытки, накапливаясь, эмулируют опционную премию. Как известно, если длинный опцион не выходит «в деньги», то премия сгорает, принося убыток покупателю опциона. Подобно тому, как временной распад разъедает опцион, при динамическом репродуцировании ребалансировка может приносить убытки. Частые корректировки вследствие высокой волатильности базового актива могут превысить величину премии опциона и с этим нельзя не считаться, выбирая алгоритм динамического репродуцирования. Правда, если вспомнить маркет-мейкеров, бизнес которых заключается в создании длинных и коротких опционных позиций для своих клиентов, то они не хеджируют каждый опцион динамически; вместо этого они хеджируют только свою чрезвычайно незначительную чистую позицию. Поэтому в отдельных случаях можно брать с них пример.

К вопросу о дельте

Выше уже отмечалось, что чисто теоретически динамическое репродуцирование позволяет эмулировать и не зарегистрированные опционы. Но тогда возникает вопрос, а как вычислить дельту тех опционов, которые не существуют в природе?

Известно, что цена опциона зависит от ряда параметров – от текущей цены базового актива, от цены страйк, от количества дней до исполнения и других. Зная значения этих параметров, можно чисто формально найти стоимость опциона для каждого отдельного момента времени, а, следовательно, оценить изменение стоимости опциона от одного момента времени к другому. Поскольку изменение цены базового актива между этими моментами времени также известно, то можно рассчитать и дельту.

Но не следует забывать, что у известной формулы Блэка-Шоулза существует много критиков, основные аргументы которых сводятся к тому, что названная формула построена на основании ряда предположений, которые не всегда или вообще не существуют в реальности. Напомним отдельные предположения, на которых базируется формула оценки стоимости опциона Блэка-Шоулза:

1. Краткосрочная процентная ставка известна и постоянна во времени.

2. Цены базового актива следуют случайному блужданию, а распределение цен базового актива на любом конечном интервале является логнормальным.

3. Дивиденды по акциям не выплачиваются.

4. Опцион является европейским, а не американским, то есть может быть исполнен только в день истечения.

5. Отсутствуют транзакционные издержки, связанные с покупкой и продажей базового актива и опциона.

6. Всегда возможно осуществить заимствование по краткосрочной процентной ставке.

7. Не существует никаких препятствий для короткой продажи.

Насколько эти предположения соответствуют действительности, читатель может судить сам.

В то же время можно было бы оценивать и торговать опционы на несметное разнообразие инструментов – предметов потребления, сельскохозяйственных продуктов, иных товаров и чрезвычайно неликвидных ценных бумаг – где динамическое репродуцирование не может быть достигнуто. Но что получится, если эти опционы попытаться оценивать по тем же самым моделям и на базе тех же пакетов программ, которые используются для опционов на отдельные редкие ценные бумаги, для которых динамическое репродуцирование осуществимо? Это неминуемо приведет к ошибкам в оценках, а, следовательно, и в динамическом репродуцировании.