Окончание. Начало: Моделирование межбанковских расчетов на базе математических объектов

 

В зарубежных изданиях, часто приводится схема клиринговых расчетных операций, автором которой считается г-н Beziade [9]. Эта схема называется теоретической схемой клиринга. Обычно она демонстрируется в виде табличного представления расчетных операций банков, подобно таблице 4 представленной ниже.

Теоретические обоснования расчетных операций иллюстрируется примерами, сведенными в таблице расчетными операциями банков на определенную дату; в последней колонке показывается чистая кредиторская задолженность банков; в последней строчке чистая дебиторская задолженность банков. Сам клиринг включает два этапа: подсчет сальдо и урегулирование взаимных требований. Приведем пример зарубежных теоретических представлений схемы клиринга и расчетов (см. также [3,4,5]).

Таблица 1

Банки

A

B

C

D

Е

Итого по кредиторской задолженности

Чистая кредиторская задолженность

A

 

80

20

60

200

360

 

B

150

 

30

80

40

300

50

C

80

30

 

40

20

170

 

D

10

40

60

 

80

190

 

E

200

100

70

50

 

420

80

Итого по дебиторской задолженности

440

250

180

230

340

1440

 

Чистая дебиторская задолженность

80

 

10

 

40

 

130

 

Вышеприведенная таблица содержит наглядное изображение процедур: расчетных операций между банками и расчета многосторонней нетто-позиции. Однако теоретически обоснованной назвать эту схему, представляется проблематичным. Следует обратить внимание, что без компактного формульного представления схем межбанковских расчетов, трудно добиться единообразия в понимании принципов функционирования платежных систем в разных странах.

Методология математического моделирования финансовых операций и системы бухгалтерского учета банков, в систематизированном виде представлены в трудах российского ученого д.э.н., профессора О.И. Кольваха [6,7,8]. На основе этих методологических разработок, предлагается сформулировать систему теоретически обоснованных моделей схем расчетов:

-         валовых расчетов в режиме реального времени;

-         валовых расчетов с периодической обработкой платежей;

-         нетто расчетов при двухстороннем зачете требований и обязательств;

-         нетто расчетов при многостороннем зачете требований и обязательств.

Таблицы расчетных операций могут быть представлены взаимосвязанными между собой математическими объектами, организованными в виде таблиц чисел, которые называются матрицами. Аппарат матричной алгебры позволяет выразить расчетные межбанковские операции в виде единообразно понимаемых формул. Результаты математических операций матричной алгебры, при необходимости, могут затем быть представлены в табличном виде. Важной характеристикой предлагаемых формул расчетов является то, что они явно следуют друг из друга, а также иллюстрируют и объясняют связанность процессов возникающих при реализации расчетных взаимоотношений.

Табличным структурам в математике естественным образом соответствуют математические структуры, называемые матрицами, которые по определению не что иное, как прямоугольные таблицы чисел или объектов другой природы. Но над матрицами в отличие от обычных таблиц определены известные математические операции: умножение на скаляр, сложение, вычитание, транспонирование, умножение и обращение матриц. В матричной алгебре, как и в обычной алгебре, связи между величинами устанавливаются формулами и уравнениями, но входящие в них величины принимают значения не на отдельных числах, а на таблицах чисел заданной структуры и размеров.

Данное обстоятельство, позволяет совершенно по-новому решать проблемы моделирования межбанковских расчетных операций и их анализа, как решения математических уравнений, но связывающее между собой не отдельные числа, а различные структуры чисел, организованные в виде аналогов табличных структур: матриц, векторов (отдельных строк и столбцов) и отдельных числовых величин – скаляров.

Система матричного представления расчетных операций банков позволяет построить соответствующую систему информационно-технологических образов схем расчетов. Каждой форме расчетных операций ставится в соответствие ее матричный образ, каждой процедуре расчета также ставится в соответствие эквивалент этой процедуры в системе операций векторно-матричной алгебры. Система средств и методов матричного представления расчетов позволяет свести процедуры расчета кредитных организаций к весьма компактным и понятным информационно-технологическим образам, определенным в системе понятий и операций матричной алгебры.

Математически обоснованная система информационно-технологических образов, в рамках которых данные расчетных операций банков явным образом связаны с результатами проведения расчетов и клиринга излагаются ниже.

Прежде, чем приступить к изложению предлагаемой методологии и методики построения матричных моделей расчетов, определим такие понятия, как матрица–корреспонденция и матрица–проводка.

Квадратная матрица размером m x m, у которой на пересечении строки, соответствующей банку X, и столбца, соответствующему банку Y, находится единица, а все остальные элементы равны нулю, называется  матрицей-корреспонденцией.

Саму матрицу-корреспонденцию будем обозначать E(X,Y), а ее ненулевой элемент, всегда равный единице, через E(X,Y)=1. В соответствии с определением, все остальные элементы E(I,J)=0 для всех I¹X и J¹Y.

Матрица-проводка - это произведение суммы расчетной операции на матрицу- корреспонденцию.

 

R (X, Y) = S X,Y · E(X,Y)                 (1)

 

Например, для суммы расчетной операции SA,B = 80 д.е. и корреспонденции между банками Е(A, B) - « Денежные средства переводятся из банка A в банк B», получаем следующую матрицу-проводку:

 

 

При умножении скаляра λ на матрицу,  все числа содержащиеся в ней, увеличиваются в λ раз. Все элементы матрицы расчетных операций, кроме  Е(A, B) =1, равны нулю. Поэтому скалярная величина – сумма проводки SA,B = 80 автоматически попадает в соответствующую позицию R(A, B) = 80, в то время как все остальные элементы матрицы – проводки будут нулевыми.

Можно  представить всю технологию проведения расчетов в виде эквивалентных им матричных формул, если в качестве моделеобразующей принять матрицу расчетных операций банков. Ниже излагается предлагаемая в настоящей работе методология и методика построения системы векторно-матричных моделей расчетов.

В целях иллюстрации матричного представления системы межбанковских расчетов используем числовой пример, в виде расчетных операций банков, приведенный в таблице клиринга и расчетов, представленный выше. Для отражения представленных в нем операций использованы расчеты между 5 кредитными организациями. Эти расчеты в символическом виде могут быть записаны как: R= R1(A, B)+ R2(A, С) + R3(A, D) + R4(A, E) + R5(B, A)+ R6(B, С) + R7(B, D) + R8(B, E)+ R9(C, A)+ R10(C, B) + R11(C, D) + R12(C, E) + R13(D, A) + R14(D, B) + R15(D, C) + R16(D, E) + R17(E, A) + R18(E, B) + R19(E, C) + R20(E, D).

Здесь подстрочный индекс 1,2,3… обозначает номер расчетной операции. Сами операции записаны с помощью символического языка, где каждый расчет записывается как формула:  R(X, Y) = SX,Y . В ней слева показана межбанковская корреспонденция, а справа сумма расчетной операции, определенная на корреспонденции банков X,Y, где X,Y принадлежат множеству банков участвующих в расчетах. Таким образом, расчетная операция (матрица-проводка) определена как соответствующий элемент матрицы расчетов.

Если просуммировать матрицы-проводки, по известным правилам матричной алгебры, которые в этом случае совпадают с обычными правилами суммирования таблиц, то получим матрицу сводных расчетных операций банков:

 

 

Благодаря представлению расчетных операций в форме матриц-проводок, алгоритм формирования таблицы расчетов сводится к суммированию матриц-проводок за рассматриваемый период.

Таким образом, эквивалентом или информационно – технологическим образом процедуры формирования сводных обязательств по расчетам между банками будет следующая матричная формула:

                            (2)

Поскольку:  Ri (Xi ,Yi) = Si  Ei(Xi ,Yi), где i=1,2,...,n – номер расчетной операции, матрица сводных обязательств по расчетам может быть представлена, как линейная комбинация матриц-корреспонденций:

               (3),

где коэффициентами линейного разложения являются скалярные величины – суммы проводок Si (i = 1, 2, …, n).

Матричная формула (3) – это информационно – технологический образ журнала расчетных операций или системы валовых расчетов в режиме реального времени: в ней суммы операций, определенные на соответствующих корреспонденциях между банками, представлены в хронологическом порядке.

С другой стороны, суммируя однотипные проводки, получаем формулу сводных обязательств по расчетам между банками:

            (4),

где коэффициентами линейного разложения будут суммы операций сводных проводок:  SX,Y   (X,Y  Î множеству банков участвующих в расчетах).

Матричная формула (4) – это информационно – технологический образ расчетов за определенный период обработки или системы валовых расчетов с периодической обработкой платежей: в ней суммы операций – это итоговые суммы, определенные на однотипных корреспонденциях банков. Формула (3) непосредственно преобразуется в формулу (4) с помощью элементарных операций обычной и матричной алгебры.

Пусть R – это матрица обязательств по расчетам между банками, а R¢ = (R)¢  – транспонированная к ней матрица получаемых межбанковских платежей или матрица исполнения обязательств, т.е. матрица, в которой строки и столбцы переставлены – инвертированы по отношению к исходной матрице R.

Тогда сальдовая матрица DR будет определена как разность:

R – R¢ = DR                           (5).

Матричная формула (5) – это информационно – технологический образ нетто расчетов при двухстороннем зачете требований и обязательств.

По данным нашего примера имеем:

 

 

 

Сальдовая матрица DR обладает свойствами, в которых проявляется двойственная природа межбанковских отношений:

1. Элементы сальдовой матрицы DR зеркально симметричны относительно главной диагонали. Это свойство состоит в том, что для каждого элемента DR(X,Y) – сальдо межбанковских расчетов банков X и Y,  всегда существует равный по модулю, но противоположный по знаку элемент с инвертированной корреспонденцией DR(Y,X) такой, что всегда соблюдается равенство: DR(X,Y) = – DR(Y,X), где X,Y - любые два корреспондирующих банка, и наоборот: DR(Y,X) = – R(X,Y). По сути это свойство сальдовой матрицы DR показывает схему двухстороннего зачета между банками, участвующими в расчетах.

2. Поскольку сумма каждой пары зеркально симметричных элементов равна нулю, то и сумма  всех элементов сальдовой матрицы также равна нулю: å DR(X,Y)=0, где X,Y Î множеству банков участвующих в расчетах. Это является подтверждением, что все взаимные обязательства банков урегулированы.

Свертывание матриц обязательств и платежей банков в итоговый столбец достигается умножением справа на единичный вектор e. Преобразование  r = R×e сворачивает R в итоговый столбец rоб (вектор обязательств), а преобразование r¢ = R¢×e в итоговый столбец rпл (вектор платежей).

 

rоб  = R×e              (6)

 

rоб  =

rпл = R¢×e             (7)

 

rпл =

 

Векторное уравнение многостороннего клиринга может быть выражено следующей формулой:

Drмз  = DR e          (8)

 

Drмз =

 

Векторная формула (8) – это информационно – технологический образ нетто расчетов при многостороннем зачете требований и обязательств. Эта формула явно следует из тождеств (5), (6) и (7).

Содержательный результат представленных моделей расчетов, по нашему мнению, заключается в том, что, удалось перейти от обычного процедурного описания технологии межбанковских расчетов к ее представлению в форме компактных и единообразных матричных уравнений. Основные схемы расчетов представлены как система следующих друг из друга компактных векторно-матричных формул, которые должны быть единообразно понимаемы всеми участниками расчетных взаимоотношений, хотя и требует некоторой подготовки, в отличие от готовых рецептов, сформулированных в виде Ключевых принципов.

На базе разработанной системы матричных уравнений могут быть определены: структура рисков возникающих в платежных системах и конкретные величины этих рисков. Представленные формулы позволяют проводить содержательный анализ расчетных взаимоотношений, с целью оптимизации платежных операций и минимизации рисков, возникающих в конкретных платежных системах.  Кроме этого, приведенная система матричных моделей обеспечивает единство методологических подходов с системой информационно-технологических образов операций бухгалтерского учета  в системе ситуационно-матричной бухгалтерии, что является очень важным, т.к. расчетные операции и система учета этих операций в балансах организаций, по нашему мнению, взаимосвязаны.

Следует обратить внимание, что в настоящее время в области разработки информационных средств, развиваются способы построения аналитических систем на базе моделей [11]. Основными предпосылками этого развития является осознание  того факта, что долговечность  программных средств напрямую зависит от долговечности знаний,  которые являются  научной базой принятой для разработки программных средств. В связи с этим,  нам представляется, что тема моделирования расчетных систем на базе математических объектов и методов,  затронутая в данной работе является актуальной и своевременной.

Литература

1. Доклад Рабочей группы по принципам и практическим аспектам платежных систем Комитета по платежным и расчетным системам банка международных расчетов (БМР) «Ключевые принципы для системно значимых платежных систем» //Вестник Банка России. – 2002. – № 18-19.

2. Банк России и Комитет по платежным и расчетным системам центральных банков стран Группы десяти «Платежные системы России» //Вестник Банка России. – 2003. – № 64.

3. Доклад Комитета по схемам межбанковского неттинга: «Report on netting schemes», БМР, февраль 1989 г. //размещен на web-сайте БМР (www.bis.org).

4. Доклад Комитета по платежным и расчетным системам банка международных расчетов: «Real-time gross settlement systems», БМР, март 1997 г. //размещен на web-сайте БМР (www.bis.org).

5. Доклад Комитета по платежным и расчетным системам банка международных расчетов: «Clearing and settlement arrangements for retail payments in selected countries», БМР, сентябрь 2000 г. //размещен на web-сайте БМР (www.bis.org).

6. Кольвах О.И. Компьютерная бухгалтерия для всех. – Ростов-на-Дону: Издательство «Феникс», 1996.

7. Кольвах О.И. Ситуационно–матричная бухгалтерия: модели и концептуальные решения. – Ростов-на-Дону: Издательство СКНЦ ВШ, 1999.

8. Кольвах О. И., Копытин В. Ю. Адаптивные модели бухгалтерского учета и формирования финансовой отчетности в системе кредитных организаций (концепция, методы и информационно-технологическое обеспечение) - Ростов-на-Дону: Терра, 2002.

9. Матук Ж. Финансовые системы Франции и других стран (в 2т.) – М.: АО «Финстатинформ», 1994.

10. Р. М. Канафина, Н. А. Медяк и др. Отдельные направления развития платежных систем и расчетов // Журнал «Деньги и кредит». – 2003. – № 2.

11. Стивен Меллор, Энтони Кларк, Такао Футагами Разработка на базе моделей //Журнал «Открытые системы». – 2003. – № 12.